2011年2月24日 - 信報
贏面高，就要下重注嗎？答案好像是呼之欲出︰「應該」。既然贏面高，怎麼可以輕易放過呢？下注當然要重一點！
但假如高贏面是可持續的，而自己手中的籌碼又只是有限的話，那麼又何必急於一時呢？下注太重，會有以下的反效果︰就是你有可能很快地輸掉所有的籌碼（因為你只是贏面高，而不是必勝）。那時你空有高的贏面，卻沒有參加遊戲的本錢，只能對着不能套現的贏面望洋輕歎了。
舉例說，你有一個賭大細的方法，贏的機會達60%，但你只有100元，你如果下最重的注，把100元全押在一鋪內，你就有40%的機會被一鋪清袋，不能再戰江湖，辜負了你高明的賭術。但如果下注100元是太重的話，那麼每次下注1元又是否太輕呢？究竟每次下注多少才是最合理呢？數學裏的「凱莉公式」（R=2p-1）就給出這個問題的具體答案。
凱莉公式：R=2p-1
「凱莉公式」是在1956年由物理學家凱莉推導出來的。當年凱莉任職於著名的美國貝爾實驗室，他受同事夏農（Shannon）啓發而開展自己的研究。
夏農是一位成就卓越的數學家，他創立了訊息理論（information theory），被譽為訊息論之父。凱莉認為，賭徒如何能在運氣的干擾下，最有效地發揮他的賭技，跟電話資訊如何在噪音的影響下，最有效地被接收，兩者有相同的數學內涵，從而推出「凱莉公式」。
天才數學家的秘密賭局
後來夏農去了麻省理工學院（MIT）執教，並將「凱莉公式」介紹給一位同事──數學家索普教授（Thorp）認識。根據知名科普作家龐德斯通（Poundstone）在2005年所寫的名為Fortune's Formula（台灣平安文化譯作「天才數學家的秘密賭局」）的書透露，那時夏農和他的妻子經常在周末與索普一同去拉斯維加斯，利用「凱莉公式」大玩二十一點，結果大獲全勝。
索普後來更組織了MIT Team，意圖打垮莊家。雖然MIT Team有「凱莉公式」 作為他們的「張良計」，但賭場亦有「過牆梯」，就是增加牌的數目和莊家頻頻洗牌。
此外，賭場更調動保安及千方術高手，封殺 MIT Team的財路。電影「Twenty One」就曾經把一些賭場黑幕，加以戲劇化的處理以宣揚「貪財是萬惡之根」。
就讓我們用上面賭大細的例子來解讀R=2p-1這個公式。你有p=0.6的機會猜中開大還是開細，你現有100元，可以不斷地參與這個賭局，賠率是一賠一（如下注5元，輸的話輸去5元，贏的話連本帶利收回10元）那麼在每局遊戲中你應打賭多少金額，才最能發揮你的優勢呢？
根據「凱莉公式」，最佳的戰略是在每局中都打賭現存所有金額的一個固定的百分比R，這百分比跟p的關係是︰R=2p- 1，其中p代表你能猜中大/細的概率。在上例中，p=0.6，故R=0.2，即是在每局中你用現存所有資金的20%去下注。所以，在第一局，你應下注20元，若你勝出，你的本錢變為120元，在第二局應下注120元x0.2=24元；但若你輸了第一局，你只餘下80元，那時你的賭注應為80元x0.2=16元，如此類推。
隨勝算調節 獲金融界推崇
凱莉是根據什麼原理來推導出這個公式呢？原來他首先計算在長期參與賭局時會出現的預期平均每局回報率，然後把這個量極大化。附圖是根據以上例子（p=0.6）對不同的打賭百分比所得出的預期平均每局回報率。
我們可以見到當打賭百分比是20%時，預期平均每局回報率就能達到最大值。
當勝出的機會不過一半時（p<50%），「凱莉公式」中的投注比例R將為負數。換句話說︰當勝算不高的時候不玩也吧！當然，以上假設了賠率是一比一。假如勝算不高，但賠率夠高的話，也可以考慮下注，那時 「凱莉公式」 應被修訂為
R=[(1+M)p - 1]/M，其中p為勝出機會，M為賠率，R為注碼應佔資金的比例。舉例說，你勝出的概率為46%，賠率為1.2，
R= [(1+1.2)x0.46 - 1]/1.2)=1%，亦即每局應該用資金的1%作為賭注。
「凱莉公式」受到很多對沖基金經理的推崇，因為這個公式不但可以應用到賭局上，還可以應用到金融市場上去。
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