數學公式（凱莉公式）不可盲目運用 - 楊良河、林建

2011年3月10日 - 信報

凱莉公式最早的應用是在於賭局上。當賭徒有較高的贏面時，公式能算出每次賭局的投注額以獲取最快的財富增長。我們可以用城中熱話「臨界點」來說明此公式的精髓。

投注額的臨界點

凱莉公式指出投注額有一個臨界點，當投注額小於臨界點時，加大投注額有利於財富增長；但當投注額大於臨界點時，加大注碼反而令財富增長率下跌。後半個結論好像有點違反直觀，但卻是由數學得來的硬結果，也符合物極必反的哲理︰順風時當然要使，但有風也不應使盡，慎防有覆舟之險。

如何令財富以最大速度去增長，當然也是金融市場投資者所追求的目標。上星期本欄就介紹了數學家索普怎樣把這個公式，應用到股票市場的投資。另外一位很推祟這公式的對沖基金經理帕波萊（Pabrai）卻另闢蹊徑，把這個公式連繫到經營生意上去。

帕波萊追隨畢非德的投資理念，是畢非德的忠實信徒。他形容，畢非德好似「凱莉型的投資者」。為了當面向畢非德表示感謝，帕波萊在2007年出價65萬美元在eBay上競投得與畢非德共進午餐的機會。

帕達家族的汽車旅館王國

帕波萊在2007年出版了名為《The Dhandho Investor》（內地出版社譯作「憨奪型投資者」），書中介紹了印度籍的帕達（Patel）家族在70年代時移民美國，既沒有資本，也沒受過高深的教育，說着不太標準的英語，但卻能在短短的35年內擁有全美國一半以上的汽車旅館（motels）。

他們所持有的汽車旅館資產超過400億美元，每年納稅7億多元，僱用了50萬人。如此高速的一個增長率，正好成為凱莉公式的一個最好的註腳。

帕達老爹於1973年籌措了5000美元，買入第一間價值5萬元的motel（銀行給予90%的融資）。作者帕波萊認為，帕達老爹當年這項投資贏面極高。首先，帕達一家五口就住在旅館裏，省下一大筆租金，而且他們一家每天都投放大量時間去肩負旅館的管理工作，省去一大筆僱員人工，同時也省掉自己上班的交通費。

帕波萊認為，Patel這門生意就像一個買一賠三或四，而贏面也高的賭局，所以投資的銀碼（50000元）等於資金（5000）的十倍也並不為過，並沒有超出凱莉公式中的臨界點。

另外，Patel又把賺來的錢繼續買入另一間汽車旅館，就像賭徒重複贏面高的賭局一樣，高贏面配上適當的投資額度，換來高速的增長。在短短35年內，建就了一個汽車旅館王國。

增長為本VS風險為本

雖然凱莉公式的應用可以橫跨股市投資及生意經營，但奇怪的是，商學院裏的教科書都很少介紹這一個公式。主因可能是凱莉（Kelly）公式是一個增長為本的策略，它優化了資金的長期增長率，但沒有考慮到投資的風險。

但Markowitz的理論卻是強調先控制住風險然後，才考慮資金的增長率，所以更受到投資界的推祟。如果說Markowitz代表了武林的名門正派，那麼Kelly就是東邪黃藥師了。

如果投資者或生意人有着賭徒的心理，不怕輸掉自己手上所有資金的話，那麼凱莉公式又是否合適呢？凱莉公式的成立，有賴於三個假設︰（1）你有穩定的、可持續的贏面；（2）你可以隨時調整投資金額佔資金的百分比；（3）就算你只剩下一份錢，你還是可以玩下去。

這三個假設距離現實當然有一大段距離，所以我們使用凱莉投資法也要步步為營才是上策。

行文至此剛好看到身型瘦削的喬布斯（Steve Jobs）在電視裏為iPad 2現身，他說「 單靠科技是不行的，科技要和博雅知識（liberal arts）、人文科學（humanities）結合才更能發揮功效」。他這句話套在數學上也是正確的。數學不加上常識，不加上在現實應用時的實際考慮，就算是正確的數學公式，也會使我們迷途的 。