2011年3月3日 - 信報
「凱莉公式」（R=2p-1）是一個非常簡單的數學公式，最初是用於「買一賠一」的賭博上。公式中的p代表每個賭局的獲勝機會，R代表每局的投注比例。例如你有p=53%的嬴面，而你的資金有1000元，由於R=6%，你便用6%的資金（60元）下注。
財經市場的凱莉公式「R=m/s2」
MIT數學系的索普（Thorp）教授得悉了這個公式後，把它廣泛地應用在多個與機會有關的賭博上。他組織了一個MIT隊伍，大規模地進軍21點賭局，把自己的經歷寫入Beat the Dealer 這本名著中。其後，又與一位年輕的電腦博士合作，參加有關球賽／運動的博彩。
電腦博士提供勝算較高的博彩法，而索普則利用「凱莉公式」來操盤，調節每次的下注額。跟據索普於1997年在一次學術會議上發表的文章中透露，他們以5萬美元作為資本，參加了101次的賭局，連本帶利共得6.8萬美元，其複式增長率達到了凱莉公式以增長為本的要求。
其實把凱利公式應用在賭局上，在香港亦大有人在。照筆者的了解，本港就有職業賭馬集團利用程式下注，而且每場下注的注碼都是以凱莉公式作為指導。
如果「凱莉公式」的應用只是局限於賭博的話，這個公式肯定不會這樣知名。在1996年的文章，索普把這個以增長為本的方法應用到股票市場的投資，得到一個推廣了的「凱莉公式」︰R=m/s2。
股市投資跟在賭場的博彩有一個基本上的不同，在賭大細時，你下注100元可以全輸，回報率為-100%，或可以嬴得100元，回報率為+100%。
但在股票市場投資的回報率就不同了，回報率可以是任何數目，借用統計學的語言，回報率有一個連續的分布。在投資學裏，投資者會有興趣知道股票的額外回報率（股票回報率－無風險回報率）。實證的數據指出，很多時候，額外的複合回報率會服從於一個正態分布。
假設我們以m及s分別代表這回報率的期望值及標準差（Standard Deviation），同時我們又假設這個期望是可以持續地實現很多次的話，那麼要令得資金在一個長時間內有最大的增長率，投資於股票的金額與手頭資金的比例應該保持在R=m/s2這個水平。例如當m=3%，s=20%時，R=75%。換句話說，當你的資金為1萬元時，你可用7500元投資於此股票。
讀者或者會問，要決定在風險資產及無風險資產間的投資比例，我們不是應該採用Markowitz的組合理論嗎？在Markowitz的組合理論裏，我們可以計算出有效邊界（Efficient Frontier），位於此邊界的組合就能把夏普比率（Sharpe Ratio）極大化，而夏普比率的定義是Sharpe-ratio=m/s，跟凱莉公式中的m/s2有很大的分別。
另外一個問題是︰假如一隻股票的額外年回報為m=10%，而s=20%，那麼R=250%，如果你有100萬元現金投資，你應借150萬元併購買價值250萬元的股票！換言之，這是一項非常高槓桿（Leverage）的投資。在Markowitz的理論底下，這樣高的槓桿比率是不可思議的。那麼是Markowitz理論出了問題，還是凱莉公式出了問題呢？
其實兩者的分別是，單時段投資與多時段投資的分別，也是靜態跟動態的分別。
以額外年回報率m=10%為例，Markowitz理論看的是一年內的投資表現。凱莉公式的着眼點可以是1000年後（因為公式把在一個長時期的增長率極大化），但在1000年後，誰又能保證這隻股票的期望回報率仍然保持在10%的水平？1000年後股票市場還存在與否，也是個未知數呢！
但如果這樣的話，那麼推廣了的凱莉公式R=m/s2又是否太紙上談兵？可幸的是，我們不一定要看年回報率，也可以看日回報率。1000年的確是太久，但1000日便是一個比較短的時段。只要我們能確知這時段內每日回報率的m及s，而且我們又能動態地在每天調整投資比例的話，那麼凱莉公式就可以派上用場了。
不過，凱莉公式還是有改進的空間。譬如說，一個對沖基金的策略，在早期可以有較高的m值，但隨着時間的推移，新的競爭者會拖低他的m值，所以m值有被高估的可能。
未顧及短期回撤
另外，凱莉公式只着眼於長期的高增長，而未有顧及較短期的回撤（Drawdown）。但基金的回撤是基金經理的大忌，如果槓桿太高，回撤可以很大。可以這樣說，以增長為本的Kelly投資法，可能會過於激進，因此常見的建議是利用「半凱莉公式」（half Kelly），亦即是用「凱莉公式」的比率的一半作投資。有時甚至用比half Kelly還小的百分比，例如是Kelly的1/3，一般稱之為Fractional Kelly投資法。
推廣Kelly有功的索普教授，後來憑着他精湛的數學技巧，成為了一個出色的對沖基金經理，據說已故影星保羅紐曼都曾是他名下基金的客戶呢。
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