芝諾悖論 - 占飛

2024年5月23日 - 信報

古希臘哲學家芝諾（Zeno）生於約公元前490年，當年已深思「無限」的概念，並提出一連串與空間、時間、運動相關的悖論（paradox），這些悖論直指微積分理論核心；時至今日，學界仍對這些話題討論不休。

芝諾的老師巴曼尼德斯（Parmenides），主張萬物本源叫「太一」，本身沒虛與實、有與無，因此並不會產生變化；不過，沒人知道芝諾當時提出的悖論究竟想證明什麼，皆因他撰寫的東西已全部遺失，其想法是透過柏拉圖與亞里士多德的記錄流傳下來。

「改變」是幻覺

根據柏、亞二人說法，芝諾旨在論證的「事實之改變」並不存在──我們之所以「感覺」到變化，全因感官「欺騙」我們；因此，「改變」無非一種幻覺。芝諾最有名的悖論叫「阿基里斯與烏龜」，阿基里斯是希臘神話英雄，也是跑得極快的飛毛腿。

此悖論的說法，只要烏龜首先起跑，阿基里斯便永遠無法超越牠。因為阿基里斯到達烏龜起跑位置時，烏龜已經向前移動；當阿基里斯再跑到烏龜的新位置，牠又早已往前移動一點。芝諾利用反證法，先假設時間與空間是連續性，可被無限切割，然後順着進行推設，並歸納出一個「與事實不符」的結論。

此後一千多年，人類始終無法替「阿基里斯與烏龜」作出合理解釋；數學上牽涉到的「無限小量」問題，一度引發學術圈內的「第二次數學危機」，如今微積分已有方法「破解」芝諾悖論。退後一萬步，如果只接受潛無限（Potential infinity），而不接受實無限（Completed infinity），阿基里斯真的只能無限接近烏龜，還是無法追上牠……古人智慧，讓人拜服。