凱莉投資法如何在波幅市獲利？ - 楊良河、林建

2011年3月17日 - 信報

本欄早前介紹了凱莉公式，但比較集中於它在賭局上的應用，本周將會集中介紹它怎樣在金融市場上發揮投資指導作用。

我們曾經把組合理論之父Markowitz比喻為名門正派的掌門人物，把推廣凱莉公式的索普（Thorp）比喻為東邪黃藥師，有朋友閱後不以為然︰「可能西毒歐陽鋒更為合適呢？」

其實西毒所練的是邪功，最後走火入魔，索普則捨棄把凱莉公式應用於21點賭局，搖身一變成為成功的基金經理。

已故影星保羅紐曼曾經問他為什麼不繼續他的賭局，索普回答說：「我在賭桌一年可賺30萬美元，但在紐約交易所的股票及期權交易，我每年可賺600萬美元，又不用擔心被賭場大享威嚇、追殺，何樂而不為呢？」。他在最近一篇文章中描述自己的基金，在1967年至2007年期間增長了二萬倍，這都全靠凱莉公式所賜。

凱莉投資法是一個適合於多時段（multi-period）的動態投資法，如果投資者有一個比較高回報的投資方法，隨着時間的推移，投資者應把投資額與總資金的比例維持於一個固定的數值，而且可以優化這個數值，使投資者的資產有最大的增長速度。換句話說，具正回報的策略配上投資額度的優化，就是高增長的兩個構成元素。

適時調整投資額度

如果你投資於一隻股票，股價向上，你當然有正回報，但你有沒有想過當股價有波幅但沒有升幅時，凱莉投資法竟然還可以獲利呢？想像以下一個例子︰股價今天是100元，明天是80元，後天升回100元，你今天有資金4萬元，可買入400股，兩天後你的淨資產仍然是4萬元，哪來的利潤？但以上的投資法是用盡了你的投資額度，亦即把投資額度固定為資產的100%，這當然也是凱莉投資法之一，但你卻忽略了凱莉投資法的另一個元素，就是你可以選擇一個不等於100%的比例。

如果該比例是50%，你用2萬元買入200股，明天你的資產為2萬元+80元x200=3.6萬元，如果你要維持50%的投資額度，用資金的一半（1.8萬元）去投資，因此你要持有225股（即要再買入25股）。到了後天，你的資產淨值為1.8萬元+100元x225=40500元，錄得500元的淨利潤，回報率為1.25%。

其實這個正回報應該不是意外，因為今天100元跌至明天的80元，回報率是-20%，但從80元升回100元，回報率是25%，平均回報率為2.5%。原來股價有波幅、沒有升幅時，平均回報率也可以是正的，而且是可以通過凱莉投資法去提煉出來。稍用數學就可以證明︰在上例中，投資額度為資產的50%是最佳的比例。另外，讀者們也可以考慮股價由100元先升至120元，再跌回100元時，最佳的投資額度仍然是50%，但利潤卻縮減至333元。

讀者們也可以驗證一下，以上的方法是預留現金，在股價下跌時增持股票，而當股價上升時反而要減持；當市況沒有大的趨勢時，這個做法是充滿投資智慧的。

預測工具：R = m/s2

讀者或者會問︰以上的數據是人造的，不一定經得起實際的考驗。下面我們以盈富基金（2800）的股價來重新驗證一下。本周一（3月14日）盈富以23.5元收市。回看金融海嘯之前，此股於2007年7月31日也以23.5元收市。三年多後，股價在原地踏步。

如昔日以1萬元投資此股，上周末也是打回原形，在最低潮時（2009年3月9日）資金只剩下4987元。如果我們用凱莉投資法，以50%資金作為投資額度，那麼2007年的1萬元到本周一可增值至10537元，而資產一直不低於7335元。

以上的計算當然還有很多不足之處。例如我們忽略了股息，也沒有考慮重整組合時的交易費用（註︰可以每月或每季才重整一次以減輕此費用）；我們只是用這例子來說明問題而已。例如我們可以用這個例子說明︰任何介乎於50%至100%的凱莉投資額度，無論是回報或是回撒（drawdown）在這個時段內都優於全攻型的100%投資額度。

以上的投資法有一個死穴，就是最佳的投資額度為何？要事後才能得悉，這是不設實際的。要解決這個疑慮，索普就曾推出公式（R = m/s2），可預測最佳的投資額度。投資者要對每天回報率的平均數（m）及標準差（s）有一定的掌握，然後代入公式，便可知投資額度是多少了。使用此公式時應注意的事項，下周再續。