2016年6月21日星期二

數學奇才深諳無限 - 占飛

2016年6月21日 - 信報

電影《數造傳奇》(The Man Who Knew Infinity)改編自麻省理工教授羅拔.坎尼葛爾(Robert Kanigel)所撰的同名傳記,此書有一副題:「拉馬努金傳」(A Life of the Genius Ramanujan),而書與電影所講述的,正是印度數學奇才拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)僅僅活了33年卻深諳無限的一生。

1914年,第一次世界大戰爆發的前夕,劍橋大學三一學院接收了一位非常特別的新人,名叫拉馬努金,他從遙遠的印度馬德拉斯度洋前來,其時他才27歲,他寫信給英國數學巨擘哈代(Godfrey Harold Hardy),終於獲得破例取錄;而在拉馬努金赴英深造之前,連中學還沒有畢業。



夢中神授

他在15歲的時候,朋友借給他一本非常重要的書,那就是由英國數學家佐治卡爾(George Shoobridge Carr)所撰寫的《純粹數學與應用數學概要》(A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics),此書所收錄的代數、微積分、三角學及解析幾何,計共五千多條方程式,但書中並無詳細說明,拉馬努金將每一個方程式當作研究題目,花了約5年時間,留下數百頁筆記。

電影一開頭,拉馬努金的印度老師說服他赴英深造之時說:「外面的世界真的很大,更不用說還有英國」;拉馬努金嘗言:「那些公式是我的神告訴我的」,皆因他能在腦袋裏聽到神的聲音,在他的睡夢中,或在他祈禱之際,公式就出現在他的舌尖。

相信神與不相信神,在電影中一再由哈代與拉馬努金辯論,拉馬努金甚至說道:「你如果不相信我的神,我們就做不成朋友。」然而,哈代卻答道:「我無法說自己信不信神,但我相信你。」

拉馬努金是印度南方鄉村的普通職員,他的母親極為尊崇女神納瑪卡(Namagiri Thayar),出於宗教的原因本來不同意兒子赴英,然而非常戲劇性的是,據說他母親一天清早突然宣布同意兒子去英國,皆因在前一天晚上的夢中,她看見兒子坐在一群白種歐洲人當中──那是納瑪卡顯靈,告誡她切勿阻礙兒子的前程。

哈代對拉馬努金百般珍惜,渴望將他琢磨成才,在電影中,兩師徒有過一場又一場的爭論,哈代對拉馬努金說:「直覺只能帶你走到有限的地方。」(intuition can only carry you so far)而拉馬努金聽了即使不大服氣,但心裏明白哈代處處為他着想,由是師徒兩人相安無事。

由於拉馬努金乃虔誠的婆羅門教徒,絕對奉行素食主義,他在英國生活期間,自己煮食物,常因研究而忘記吃飯,而英國冬天嚴寒,他的身體愈來愈衰弱,經常感到身體有莫名的痛,其後才發現他患上其時難以醫治的肺結核病。

有一天哈代去醫院看他時,抱怨所乘搭的出租車車牌號碼1729,認為此乃不祥數字;而拉馬努金的反應卻相反,認為那是一個有趣的數字,皆因此一整數可以寫成12的立方(1728)與1(1)的立方之和,亦可寫成10的立方(1000)與9的立方(729)之和。

後來哈代的摯友李特爾伍德(John Edensor Littlewood)對此宗軼聞,有此說法:「每個整數都是拉馬努金的朋友。」拉馬努金具有很強的直覺洞察力(或可稱之為「數感」),發現了近3900個數學公式和命題,他經常表示,那是在夢中納瑪卡女神所給他的啟示,醒來就可寫下令哈代大為讚賞的數學研究成果。

浪漫意外

哈代對拉馬努金的發現乃至培養,堪稱數學史上的奇聞,他嘗言在芸芸眾生之中能夠找到拉馬努金,此為他「一生中最浪漫的意外」(the one romantic incident in my life)。1913年的一個早晨他拆看郵件,其中一封夾着9頁發黃的紙,劃滿數學符號──那是拉馬努金寄給他的。

他決定請老朋友李特爾伍德前來幫忙,兩位頂尖數學家不約而同地認定,來信者一定是個數學奇才──從1914年到1918年,兩師生聯名發表5篇論文,英國皇家協會及劍橋大學三一學院均接受拉馬努金作為終身會員,由是成為史上首位同時享有此兩種榮譽的印度人。

及至1987年,即拉馬努金誕辰100周年之際,印度已拍攝了3部以他生平為題材的電影,同年,他在最後一年嘔心瀝血的遺著《失散的筆記本》(Lost Notebook)終於得以出版。

不照鏡的人

哈代年僅33歲就被選為英國皇家協會會員,有「真正的數學家」之稱,但他最為人稱道的倒是他與另一位英國數學家李特爾伍德的合作──從兩人的性格上來說可是南轅北轍:李特爾伍德生性開朗,富有想像力,為人不拘小節而具幽默感,而哈代則為典型英國紳士,思維邏輯嚴謹而縝密。

拉馬努金病逝於印度,在《一個數學家的辯白》(A Mathematician's Apology)一書中,哈代就將拉馬努金與史上最偉大的天才數學家相提並論:法國人伽羅瓦(Evariste Galois)死於21歲,挪威人亞伯(Niels Henrik Abel)死於27歲,拉馬努金死於33歲,德國人黎曼(Bernhard Riemann)則死於40歲;他聲稱不知道史上有哪位頂尖數學家在50歲以後還能做出如此重大的貢獻。

哈代更指出:「我們學習數學,拉馬努金則發現並創造數學。」他曾設計數學奇才的評分表,給自己評25分,給英國數學家李特爾伍德評30分,給德國數學家希爾伯特(David Hilbert)評80分,卻給拉馬努金評100分。

怪癖天才

哈代獨具慧眼,斷言阿基米德(Archimedes)的數學永垂不朽,不朽來自數學本身的美,在他看來, 數學家所發現的數學模型必須是美的,他有一句名言:「醜陋的數學家在數學領域裏是沒有地位的。」數學的美得靠嚴謹的證明過程,他舉出兩例:一為阿基米德關於無窮質數的證明,另一則為畢達哥拉斯(Pythagoras)關於無理數的證明。

在劍橋素有美男子之稱,卻一生未遇紅顏知己, 跟其他天才一樣,哈代也有許多讓世人難以理解的怪癖,比如他不敢直視自己,在他的房間裏絕對不能有任何鏡子;當他出外旅行時,走進旅館房間的第一件事,就是用毛巾把所有的鏡子遮蓋起來——他不能忍受別人給他拍照,據說一生只留下5張照片;至1946年,一生孤獨的他試圖自殺未遂,翌年在劍橋去世,享年70歲。

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